1.

\(cos2x-3cosx+2=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2x-3cosx+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(x=k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow\) không có nghiệm x thuộc đoạn

\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]\Rightarrow x_1=\dfrac{\pi}{3};x_2=\dfrac{5\pi}{3}\)

\(\Rightarrow P=x_1.x_2=\dfrac{5\pi^2}{9}\)

2.

\(pt\Leftrightarrow\left(cos3x-m+2\right)\left(2cos3x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos3x=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\cos3x=m-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\)

Ta có: \(x=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{9}\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left(2\right)\) có nghiệm duy nhất thuộc \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m-2=1\\m-2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(m=2\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: \(m=3\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow m=3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH3: \(m=1\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow cos3x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{3}\\x=-1\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy \(m=2;m=3\)

3.

\(2sin^2\dfrac{x}{4}-3cos\dfrac{x}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2\dfrac{x}{4}+3cos\dfrac{x}{4}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos\dfrac{x}{4}=\dfrac{1}{2}\\cos\dfrac{x}{4}=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{4\pi}{3}+k8\pi\in\left[0;8\pi\right]\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{4\pi}{3}\\x=\dfrac{20\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{20\pi}{3}=8\pi\)

Không có đáp án đúng. Theo đáp án thì $m=0$ thì $\sin 2x=2m$ có 2 nghiệm pb thuộc $[0;\pi]$

Tức là $\sin 2x=0$ có 2 nghiệm pb $[0;\pi]$. Mà pt này có 3 nghiệm lận:

$x=0$

$x=\frac{1}{2}\pi$

$x=\pi$

B

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\)

<=> \(\left[-\left(2m+5\right)\right]^2-4.1.\left(2m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m+21>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m+9+12>0\)

<=> \(\left(2m+3\right)^2+12>0\)

Vì (2m+3)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị m.

Theo viét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)

Theo đề:

\(M=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) (điều kiện: \(x_1;x_2\ge0\))

=> \(M^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}\right)-2\sqrt{\left(2m+1\right)}+4\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}-2\right)+4\)

<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+4\ge4\)

=> \(M\ge2\).

Dấu "=" xảy ra khi m = 0

Thế m = 0 vào phương trình ở đề được:

\(x^2-5x+1=0\)

Phương trình này có hai nghiệm dương -> thỏa mãn điều kiện.

Vậy min M = 2 và m = 0

☕T.Lam

\(\Leftrightarrow\left(cosx+1\right)\left(4cos2x-m.cosx\right)=m\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow4cos2x-m.cosx=m\left(1-cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow4cos2x=m\)

\(\Rightarrow cos2x=\dfrac{m}{4}\)

Pt có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn đã cho khi và chỉ khi:

\(-1< \dfrac{m}{4}\le-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow-4< m\le-2\)

Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn